彼得堡科学院院士哥德巴赫正在研究把任何数表示成几个质数的和的问题。哥德巴赫发现，总可以把任何一个数分解成不超过三个质数和。但他不能证明这个命题，甚至找不到证明它的方法，于是，他写信全告诉欧拉这件事。在1742年6月7日的信中，哥德巴赫告诉欧拉，他想冒险发表下面的假定;“大于5的任何数(正整数)，是三个质数的和”。欧拉回信说：他认为“每一个偶数都是两个质数的和”这论断是一个完全正确的定理。显然，哥德巴赫的断语就是欧拉这论断的简单推论(因为：奇数=3+偶数) 。然而，欧拉也不能证明它。这就是著名的哥德巴赫猜想。关于哥德巴赫问题，不论是提出问题的哥德巴赫本人还是大数学家欧位都不能做出什么结果。上世纪一个超群数学家康托耐心地试验了从2到1000的所有偶数，说明在这范围内，哥德巴赫断言是成立的，但这能说明什么呢?此后，多少著名的学者都为哥德巴赫问题花费了无数的精力，力图开辟解决这一问题的道路，或者将它与数学的其他问题联系起来。但要严格证明它，却毫无结果，1912年，数论大师兰道在国际数学家会议上说：这个问题要用近代数学工具来解决是绝对不可能的。
到二十年代初期，问题才有了一点进展，挪威数学家布朗用古老的筛法证明了：每一个偶数是九个互数因子之和加九个素数因子之积，简记为(9+9)，延自这一派的方法，1924年拉德马哈尔证明了(7+7)，1932年爱斯斯尔曼证明了(6+6);1938年，布赫斯塔勃先后证明了(5+5)和(4+4);1956年维诺格拉多夫证明的(3+3);1958年我国数学家王元证明了(2+3)。
另一证明方法是1948年由匈牙利数学家兰恩易开辟的，他证明了每一个大偶数都是一个素数和一个“素因子示超过六个的”数之和，简记为(1+6)，1962年，山东大学教授潘承洞证明了(1+5)，同年，他又和王元证明了(1+4);三年后1965年，布赫斯塔勃、维诺格拉多夫和庞皮艾黎都证明了(1+3)。
陈景润继承了前人的结果，吸取了前人的智慧，施展了他坚韧不拔的毅力，顽强地向哥德巴赫问题挺进。为了能最快阅读最新的国久的有关资料，了解外国的新结果，他在掌握英、俄两门外语基础上，又自学了德、法、日、意和西班牙语。同时在数论方面接连攻下了三十多道难题中的六、七题，为解决哥德巴赫问题做出了必不可少的锻炼和准备。
例如他在圆内整点问题，球内整点问题，华林问题，三维除数问题上，都改进了中外数学家的结果。经过这一艰苦的历程，1966年，陈景润在《科学通报》第一十七期上发表了他已经证明(1+2)的成果。已故的著名数学家闵嗣鹤教授审核了二百多页论文手稿，确认其证明无误，但建议他加以简化，此后陈景泣不分白天黑夜，一笔又一笔推演了六麻袋稿子，经过七易寒暑，终于写出了著名的论文：“大偶数表为一个素数及一个不超过一个素数的乘积之和”，精心论证了(1+2)，其中定理数学史故事 - 家庭教师 - 阳光浴场 ，被英国数学家哈勃斯丹和西德数学家李希特誉为“陈氏定理”，是“筛法”的“光辉的顶点”，并立即补入即将刊印出版的他们合著的《筛法》一书中，英国数学家赞扬陈景润说“你移动了群山”。
陈景润为祖国增添了荣誉，他的突破为推动学林繁荣做出了极大的贡献。1978年他出席了第一届全国科学大会。先后当选为第四届、第五届人大代表为会议主席团成员。
1979年初，他和著名的拓扑学家吴文俊夫妇应美国普林斯顿高级研究所所长伍尔夫教授的邀请，前往讲学和作短期的研究工作。在那里，陈景润又利用有利条件，完成子论文《算术级数中的最小素数》，把最小素数从原来的80推进到16，这是当前世界上最新的成果，受到了国际数学界的好评。
